均匀设计及其应用(均匀设计分会)

发布时间:2021-10-17 22:55:41

中国数学会均匀设计分会
1

前言
沐浴在改革开发的阳光下,神州大地生机盎 然,新生事物层出不穷。在*绦斯ㄉ杷 化的过程中,人们熟悉的那些传统的试验设 计方法,已不能充分满足快节奏高效率的要 求。新时期呼唤新思维?新方法。

中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计 试验设计”相结合,发明了一种全新的试验 设计方法,这就是均匀设计法。

均匀设计法诞生於1978年。由中国著名

数学家方开泰教授和王元院士合作共同发

明。

2

均匀设计是一种试验设 计 方法。它可以用较少的试 验次数,安排多因素、多水* 的析因试 验,是在均匀性的 度量下最好的析因试验设计方 法。均匀设计也是仿真试验设 计和稳健设计的重要方法。
3

-1-
使用方法 4

我们通过制药工业中的一个实例, 来看均匀 设计表的使用方法。
例1.1 :阿魏酸的制备
阿魏酸是某些药品的主要成分,在制备过程 中,我们想增加其产量。
这就是说以阿魏酸的产量作为目标 Y。
5

经过分析研究,挑选出因素和试验区域,为 原料配比:1.0---3.4 吡啶总量:10----28 反应时间:0.5---3.5 确定了每个因素相应的水*数为7。如何安排试验呢?

全面交叉试验要N=73=343次,太多了。

建议使用均匀设计。

有现成的均匀设计表,提供使用。参见:

“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社

(1994).”
也可以浏览如下网页

之附表 1

网络地址:http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign

6

第1步: 将试验因素的水*列成下表:

表 1.1.1: 因素 水 *

x1
原料配比
1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

x2
吡碇总量 (ml)
10 13 16 19 22 25 28

x3
反应时间 (hr)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
7

第2步: 选择相应的均匀设计表. 每个均匀设计表有一个记号,它有如下的含义:

均匀设计

因素的最大数

Un(qs)

试验次数

水*数 8

例如:

表 1.1.2:
No. 1 11 22 33 44 55 66 77

U7 (74)
234 236 465 624 153 312 541 777

9
表 1.1.3: U9 (94 )
No. 1 2 3 4 1 1213 2 2545 3 3987 4 4369 5 5471 6 6726 7 7194 8 8638 9 9852

10 每个表还有一个使用表,将建议我们如何选择适当的 列。其中‘偏差’为均匀性的度量值,数值小的设计 表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为,

因素数

列号

偏差

2

1, 3

0.2398

3

1, 2, 3

0.3721

4

1, 2, 3, 4

0.4760

表1.1.2:
No. 1 11 22 33 44 55 66 77

U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777

表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777

第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。

表 1.1.5:
No. 1x1 x22 x33
1 11.0 123 1.35 2 12.4 149 3.60 3 13.8 265 1.20 4 24.2 110 2.5 5 25.6 136 0.15 6 36.0 252 2.40 7 37.4 278 3.75

y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482

1. 将 x1, x2和 x3放入列1,2 和3. 2.用x1的7个水*替代第 一列的1到 7.
3. 对第二列,第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验, 得到7个结果,将其放入最 后一列.

11

第 4步: 用回归模型匹配数据 首先,考虑线性回归模型:

y ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ?3x3 ? ?

(1.1.1)

使用回归分析中变量筛选的方法,比如‘向后法’,得到 推荐的模型为:

y? ? 0.2142 ? 0.0792 x3

(1.1.2)

这个结果与人们的经验不符。

12

然后,我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据:

y ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ?3x3 ? ?11x12 ? ?22 x22 ? ?33x32

? ?12 x1x2 ? ?13x1x3 ? ?23x2 x3 ? ?

(1.1.3)

使用‘向前’的变量选择法,我们发现适宜的模型:

y? ? 0.06232 ? 0.25 x3 ? 0.06 x32 ? 0.0235 x1x3

(1.1.4)

表 1.1.6:
来源
回归 误差 总和

方差分析(ANOVA) 表

df SS

MS

3 0.062190 0.020730

3 0.014170 0.000472

6 0.063608

F 43.88

p 0.006
13

具有
模型

14
R2 ? 0.978, s ? 0.02174,
tx3 ? 6.41, tx32 ? ?5.64, tx1x3 ? 4.88.
y? ? 0.06232 ? 0.25 x3 ? 0.06 x32 ? 0.0235 x1x3 (1.1.4)

中的三项,在 5%的水*下都是显著的。

图1.1.1:
残差与 y? 的示意图

y ? y?

状态是正常的,所以模型 (1.1.4)是可接受的。
y?

图 1.1.2a 匹配图

15
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图

图 1.1.2c偏回归图

16 第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水*组合

表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* :

? ? Y?(x1*, x3*) ? max Y?(x1, x3 )

这里求取max的区域为:

?1 ? x1 ? 3.4, 0.5 ? x3 ? 3.5?



Y?(x1, x3) ? 0.06232 ? 0.25x3 ? 0.06x32 ? 0.0235x1x3

图 1.1.3 等值线图

17 ? (x1*,x3*)

x1x3的回归系数是正的,x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4.
Y?(3.4, x3) ? 0.06232? 0.3309x3 ? 0.06x32 在x3* = 2.7575达到最大值 。 在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它 比7个试验点的最好值48.2%还大。

讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献,我们可以选 x2为 其中点 x2 = 19 ml. 求出的x1* = 3.4 在边界上, 我们需要扩大 x1的试验上限。
在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。
在第5步,一些优化算法是很有用的。 18

19
混合型水*的均匀设计
试验中各因素若有不同水*数,比如,其 水*数分别为q1,…,qk。
这时应使用相应的均匀设计表。见
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版 (1994).”
之附表2

20
每个混合水*表有一个记号,含义为:

均匀设计

定量因素 的最大数

Un(q1 × … × qk )

试验次数

各定量因素 之水*数

下表是一个混合水*均匀设计表:

21
它的试验数n 为 12。可以安 排水*数为6、 4、3的因素 各一个。

U12(62?4)

1

2

3

1

1

2

3

2

1

3

2

3

2

5

1

4

2

6

4

5

3

1

2

6

3

3

1

7

4

4

4

8

4

6

3

9

5

1

1

10

5

2

4

11

6

4

3

12

6

5

2

此表也是混合水*均匀设计表。

它的试验数n 为 12。可以安 排二个6水*因 素和一个4水* 因素的设计。
22

-2-
使用方法 23

24
例2 .1:在农业试验中
考虑4个因素:
*均施肥量X,分为12个水* (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。 种子播种前浸种时间T,分为6个水*(1,2,3,4,5,6)。 土壤类型B,分4种B1,B2,B3,B4。 种子品种A,分3个A1,A2,A3。
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素,后两个为定性因素。
如何安排试验,引出了下面的内容。

25
混合型因素混合型水*的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因 素,又有定性型状态变化因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk; 这k个因素可化为k个连续变量,
其水*数分别为q1,…,qk。 又有t个定性因素G1,…,Gt, 这t个定性因素分别有d1,…,dt个状态。
人们使用“拟水*法”,或用优化方法计算,求出相应的 均匀设计表。

26
这种混合因素混合水*表有如下的记号和含义:

均匀设计

定量因素 的最大数

定性因素 的最大数

Un(q1 × … × qk × d1 × …× dt )

试验次数

各定量因素 之水*数

各定性因素 之水*数

例:U12(12×6×4×32 ×22 )
1 23 4 56 7 1 1 1 1 2 312 2 2 2 2 3 221 3 3 3 3 2 112 4 4 4 4 3 121 5 5 5 1 1 222 6 6 6 2 3 211 7 7 1 3 1 111 8 8 2 4 3 321 9 9 3 1 1 322 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2
27

12次试验。
可以安排2个
水*数为12和 6的定量因素,
以及总数为5
的一个水* 为4、两个水 *为3和两个 水*为2的定
性因素的设计。

我们选均匀设计表 2.1.1安排此试验
第一列安排*均施肥 量X,分为12个水 *
第二列安排种子播种 前浸种时间T,分 为6个水*
第三列安排土壤类型 B,分4种B1,B2, B3,B4。
第四列安排种子品种 A,分3个A1,A2,
A3。
28

表2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

U12(12×6×4×3 )
1 234 1 112 2 223 3 332 4 443 5 511 6 623 7 131 8 243 9 311 10 4 2 2 11 5 3 1 12 6 4 2

试验的安排及结果如表2.1.2
XTB A 值 70 1 B1 A2 771 74 2 B2 A3 901 78 3 B3 A2 899 82 4 B4 A3 927 86 5 B1 A1 1111 90 6 B2 A3 1271 94 1 B3 A1 1053 98 2 B4 A3 1069 102 3 B1 A1 1187 106 4 B2 A2 1220 110 5 B3 A1 1062 114 6 B4 A2 974
29

为了进行分析,我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下:
B因素的
z31 ? (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 ? (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 ? (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的

z41 ? (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)

z42 ? (1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1)
它们和 X、T 一起进行回归分析。

回归方程如下:

30

31
y ? ?0 ? ?1 X ? ?2T ? ?3Z31 ? ?4Z32 ? ?5Z33 ? ?6Z41 ? ?7Z42 ? ?

771 901 899 927 1111 1271
=
1053 1069 1187 1220 1062 974

1 70 1 1 0 0 0 1 1 74 2 0 1 0 0 0 1 78 3 0 0 1 0 1 1 82 4 0 0 0 0 0 1 86 5 1 0 0 1 0 1 90 6 0 1 0 0 0 1 94 1 0 0 1 1 0 1 98 2 0 0 0 0 0 1 102 3 1 0 0 1 1 1 106 4 0 1 0 0 0 1 110 5 0 0 1 1 1 1 114 6 0 0 0 0 0

e1

e2

?0

e3

?1

e4

?2

e5

?3 +

e6

?4

e7

?5

e8

?6

e9

?7

e10

e11

e12

32

??0 ? 158.96

解得
回归系数的
最小二乘估

??1 ? ??2 ?

8.54 12.625

计及其R和 ??3 ? 231.09

F值为:

??4 ? 208.98

??5 ? 144.45

??6 ? ?124.50

??7 ? ?168.875

R?

0.8753

F?

1.84

? 不显著。需进一步考虑高阶回归项
? 若我们考虑除主效应外,再多考虑一个2次效 应和一个交互效应。这时回归方程化为

y ? ?0 ? ?1 X ? ?2T ? ?3Z31 ? ?4Z32 ? ?5Z33 ? ?6Z41 ? ?7Z42 ? ?8 X ? ?9(T ? Z32) ? ? 2

771

1 70 1 1 0 0 0 1 702 0

901

1 74 2 0 1 0 0 0 742 2

899

1 78 3 0 0 1 0 1 782 0

927

1 82 4 0 0 0 0 0 822 0

1111

1 86 5 1 0 0 1 0 862 0

1271 = 1053

1 90 6 0 1 0 0 0 902 6 1 94 1 0 0 1 1 0 942 0

1069

1 98 2 0 0 0 0 0 982 0

1187

1 102 3 1 0 0 1 1 1022 0

1220

1 106 4 0 1 0 0 01062 4

1062

1 110 5 0 0 1 1 1 1102 0

33 974

1 114 6 0 0 0 0 01142 0

e1

?0

e2

?1

e3

?2

e4

?3

e5

?4

+

e6

?5

e7

?6

e8

?7

e9

?8

e10

?9

e11

e12

解得
回归系数的 最小二乘估 计及其R和 F值为:

??0 ? ? 3898.3642

??1 ? 98.8649

??2 ?

9.8600

??3 ? 199.9875

??4 ? 144.7927

??5 ? 101.6902

??6 ? ? 91.3200

??7 ? ? 41.6920

??8 ? ? 0.4937

??9 ? 11.0600

R?

1.0000

F ? 14170.5883

34
非常显著

方程为:

y ? ?0 ? ?1 X

? ?2t ? ?3Z31 ? ?4Z32 ? ?5Z33 ? ?6Z41 ? ?7Z42

? ?8X ? ?9(t ? Z32) ? ? 2

其中 ??0 ? ? 3898.3642

??1 ?

98.8649

??2 ?

9.8600

??3 ? 199.9875

??4 ? 144.7927

??5 ? 101.6902

??6 ? ? 91.3200

??7 ? ? 41.6920

??8 ? ? 0.4937

??9 ?

11.0600

R?

1.0000

35 F ? 14170.5883

1.含变量x 的两项与其它是分离的(即 可加的),最大值点在 x=100.127 。
2.含变量z41 z42 的两项与其它是分离的, 最大值点在 z41=0 z42=0,即品种3为好。
3.含变量 T z31 z32 z33 的四项与其它是 分离的,最大值点可能在
z31=1 z32=0 z33=0 类型为1,T=6 或 z31=0 z32=1 z33=0 类型为2,T=6 比较后知道为后者。

所以得到最佳状态组合为

36

施肥量X=100.127,

浸种时间T=6,

土壤类型B取2,

种子品种A取3,

此时最大值估计为

y?m ? ?0.4937?100.1272 ? 98.8619?100.127 ? 3898.3642 ? 20.92 ? 6 ? 144.7929 ? 1321.4515

37
下面综述应注意的事项:
一、表的选择,因素及水*的安排
? 若试验中有k个定量因素和t个定性因素时,我们从
混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的 Un(q1×…×qk×d1×…×dt)表。 ? 这里要求n≥k+d+1,其中d=(d1+…+dt -t).
为了给误差留下自由度,其中的n最好不取等号。
? 表中前k列对应k个连续变量, 表中后t列可安排定性因素。 安排n个试验,得到n个结果y1,y2,…,yn。

? 为了分析,首先要将定性因素之状态,依照 伪变量法, 将第i个因素分别化成(di-1)个 相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,…,Zi(di-1)。
? 将这总共d=(d1+…dt-t)个伪变量与相应的k个 连续变量X1,…,Xk一起进行建模分析。
? 为了保证主效应不蜕化,要对混合型均匀设计
表进行挑选。
38

二、试验结果的回归建模分析

首先考察它们的一阶回归模型:

k

t di?1

? ? ? y ? ?0 ? ? j X j ?

? ij Zij ? ?

j ?1

i?1 j?1

如果不理想,则

再考虑一些交互效应,和一些连续变量的高次效应。 显然最多可考虑的附加效应数为m个,这里
m≤n-(k+d-2)

39

40 ? 值得指出的是,由于Zij *Zij=Zij ,因此无需
考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高
次效应即可.
? 又因为Zij1*Zij2=0,j1≠j2时,因此也无需考虑 同一状态因素内的伪变量间的交互效应。
? 只有i1≠i2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j2≠0,即 不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。
? 此外,不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互
效应。
? 至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项
Zi1j1*Zi2j2*Zi3j3≠0的可能性就更少了

-3-
使用方法 41

混料配方均匀设计
许多产品都是混合多种成分在一起形成的。

香料

乳酸

椰子汁





色素 咖啡粉



发酵粉 蔬菜汁

水 面粉

咖啡面包

42

怎样确定各种成分的比例呢?
经混验 料试验试验

有 s 个因素: X1, ?, Xs 满足 Xi ? 0, i = 1, ?, s 和
试验区域为单纯形

X1 + ? + Xs = 1.

Ts = {(x1, ?, xs): xi ? 0, i = 1, ?, s , x1 + ? + xs = 1. }

人们提出了许多混料设计方法,如
单纯形格子点设计 (Scheffe, 1. 958) 单纯形重心设计(Scheffe, 19.63) 轴设计(Cornell, 1975) 43

44 例如, 成分数 s = 3

单纯形格子点设计

单纯形重心设计
d

轴设计
这些设计的全面评价请参考: Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.

45 上述设计的弱点:
许多点在Ts 的边界上; 给用户设计的选择不多。
混料均匀设计
混料均匀设计是要寻找在Ts上均匀散布的试验点。
问题: 怎样设计这些试验点呢?
变换方法

变换方法

46

给定s-1维单位立方体C s-1上的均匀设计,且用
{Ck = (ck1, ?,ck,s-1), k = 1, ?,n} 表示。则进行下列必要的 变换:

xki

?

??1 ?

?

1
cksi?i

?

?? ? ?

1
i?1 s? j
? ckj
j ?1

1
s?1 s? j
xks ? ? ckj
j ?1

(3.1.1)

{xk = (xk1, ?,xks), k = 1, ?,n} 是 Ts.上的均匀设计。

例3.1 构造T3 上带有11 个(配方)试验点的均匀设计。

47

假设我们选用 U11(112) 和相关的 Ck, k = 1, ?,11:

?? 1 4 ??

?2 9?

?3 7?

?

?

?4 1?

?? 0.0455

? 0.1364

? ?

0.2273

? 0.3182

U11(112

)

?

? ? ?

5 6

11

? ?

3 ?,

k ? k ? 0.5

c? ?

0.4091

? ? 0.5000

? ?

7

6

? ?

11

? ?

0.5909

?8 8?

? 0.6818

? ?

9

2

? ?

? ? 0.7727

?10 10?

??11

5

? ?

? ???

0.8636 0.9545

0.3182?? 0.7727? 0.5909?? 0.0455? 0.9545?? 0.2273?; 0.5000?? 0.6818?
? 0.1364? 00..84603961????

xk1 ? 1? ck1; 变换公式 (4.1) 现在成为: xk 2 ? ck1 (1? ck 2 );

xk3 ? ck1ck2.

(3.1.2)

用这个变换公式, 正方形[0,1]2上的均匀设计 Ck = (ck1, ck2), k = 1, ?,11 导出T3上的均匀设计 Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ?,11 如下:

?? 0.7868 0.1454 0.0678??

?0.6307 0.0839 0.2853?

? ?

0.5233

0.1950

0.2817??

? 0.4359 0.5384 0.0256?

x? ?

0.3604

?

(

xk1,

xk

2

,

xk

3

)

?

? ?

0.2929

? 0.2313

0.0291 0.5464 0.3844

0.6105?? 0.1607?. 0.3844??

? 0.1743 0.2627 0.5630?

?

?

? 0.1210 0.7592 0.1199?

48

? ???

0.0707 0.0230

0.1267 0.5773

00..38909276????

区域 T3 是一个边长为 2 的等边三角形,用 V2 表示。

49

x3
1

TT 3

dx1

3

dx2

x1

1

dx3
1
x2

因可此以,证V明2 上:任V2何上点的(任z1,何z2)点都(对z1,应z2)一到个VT2的3 上三的条点边之(x1距, x离2, x3)d,1, d如2和果d我3, 们满像足这d样1+在d2V+d2上3 =建1.立一个新坐标系统的话。

给定点(x1, x2, x3),计算点(z1, z2)的公式是:
z1 ? 2(x3 ? x2 ) 3 z2 ? x1
图 3.1.2a
c2

50
图 3.1 .2b

c1

- 4-
介绍 51

均匀设计软件

52

均匀设计软件有中、英文两个版本。该软件中列举了 许多较均匀的设计表,并给出了数据分析方法。

53

程序设计者杜明亮和方法指导者方开泰教授在一起 54

均匀设计软件可用于
*与试验设计相关的大学本科或研究生课程 *自然科学研究的试验设计 *工业试验和国防科研 *系统工程、仿真试验
55

(一)设计
?均匀设计表 -用好格子点法生成 -用拉丁方生成 -用优化方法生成
?带拟水*的均匀设计表 ?带约束的配方设计
?无约束的配方设计
56

(二)数据分析

?建模
-简单线性模型 -二次模型 -自选模型

?选择变量
-前进法 -逐步回归法 -最优子集法 -自选变量

?统计诊断
-残差点图、正态Q-Q点图 -偏回归点图 -拟合比较图 -等高线图 -三维图

?综合分析
-多响应模型分析 -优化 -预报 -相关系数 -各类诊断点图

57

小结
我们介绍了有关均匀设计的一些知识:均匀设计表的 构造和用法;介绍了有关均匀设计软件的一些内容。
我们强调的是正确使用均匀设计表。即:能确定
试验目标,能找出影响因素及其变化范围,合理确定水 *数及其值,正确安排试验,对试验结果进行适当的分 析,得出恰当的认识。幸好,均匀设计分会研制的“均
匀设计软件V3.0”可以帮助你完成这些工作。
想了解原理者请接看下面的附录。
58

主要参考文献
,PPT,kaitai,Fang 含有定性因素的均匀设计,PPT, 王柱
均匀设计八讲,拷贝,方开泰 均匀设计与均匀设计表,书,方开泰 均匀设计V3.0,软件,方开泰,杜明亮
均匀设计与正交设计的关联和比较,文章,方开泰,马长兴 含有定性因素均匀设计均匀性的度量,文章, 王柱,方开泰 均匀设计理论及其应用研讨会,论文集 均匀设计论文选,第一集 均匀设计论文选,第二集
59


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